地震波的传播会引起地面运动。用来表征地面运动的物理量有很多，常见的有速度和加速度，不太常见的还有位移、 应变、旋转。这些物理量在被地震仪接收到之后，首先要将其转换为电信号，然后对电信号振幅进行放大以及滤波， 再将连续时间序列离散化，最终以我们常见的波形的形式表现出来。

简介

概括地说，这个过程分为三个阶段：

  1. Analog Stages
  2. Analog-Digital Converter
  3. Digital Stages

地震仪的仪器响应是频率的复数函数，也就是常说的振幅响应和频率响应。上面提到的三个阶段，每个阶段的响 应函数都是频率的复数函数，表示为 $G_i(f)$，整个仪器的响应函数是各个阶段响应函数的乘积：

$$G(f)=\prod_i G_i(f)$$

预备知识

FIR滤波器

信号处理没学好，不敢瞎说，姑且翻译重点部分。简单地说，FIR滤波器 就是对一些数据采样点做加权平均，设计不同的加权系数就得到不同的FIR滤波器。FIR滤波器一般设计为振幅响应 为方阶跃函数（boxcar），因而其在通带内有较平的振幅响应，在拐角频率处有很尖锐很陡峭的振幅响应变化 （一般拐角频率设置为Nyquist频率的70%-90%）。与此同时，滤波器具有线性相位，即具有类似 $e^{i \omega t}$的形式，这个线性相位在时间域代表信号的时间延迟，一般数据采集系统会对这个时间延迟 做校正。由此，用户基本不需要考虑FIR滤波器对仪器响应的影响。

响应函数

模拟信号的响应函数用Laplace变换表示：

$$H(s)=\int_0^{\infty}h(t)e^{-st}dt$$

数字信号的响应函数用Z变换表示：

$$H(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}h_m z^{-m}$$

归一化

频率响应可以表示为

$$G(f)=S_d R(f)$$

其中 $R(f)$ 是频率的函数。在某个特定的频率 $f_s$，有 $|R(f_s)|=1.0$ ，即 $R(f)$ 在频率 $f_s$ 处进行归一化。$S_d$ 是放大系数，也称为Sensitivity或者Gain。

$R(f)$ 可以表示为

$$R(f)=A_0 H_p(s)$$

其中 $H_p(s)$ 是用零极点表示的transfer函数，一般来说在频率$f_s$处这个transfer函数的振幅响应 不为1，所以需要归一化因子 $A_0$。

Analog Stages

这个阶段的主要功能是将连续的地面运动物理量（比如速度）转换为电压信号，并进行电压放大。因而这个阶段的 输入单位是 m/s，输出单位是伏特(V)。这个阶段的响应函数可以表示为

$$G(f)=S_d A_0 \frac{\prod (s-r_n)}{\prod (s-p_m)}=S_d A_o H_p(s)$$

如前所说，$S_d$ 是放大系数，$H_p(s)$ 是用零极点表示的transfer函数，这里n和m代表n个零点和m个极点。 $A_0$ 是归一化因子。

Analog-Digital Converter

模电转换器，将上个阶段产生的连续的电压信号转换为离散的电压信号。输入的单位是伏特V，输出单位是counts。 （不了解A/D C的细节，大概就是说在离散的时候存在一个非常小的阀值，这个值是离散信号所能识别的最小电压差。） 这个过程中，其在所有频段内振幅响应相同，也就是只存在一个放大系数，同时可能存在一个时间延迟。

Digital Stages

这个阶段对离散数据进行处理。这个过程包含了三个小部分：离散信号滤波，数据重采样，校正滤波引入的时间延迟。

离散信号滤波可以采用FIR滤波器，也可以采用IIR滤波器。多数情况下采用FIR滤波器，这意味着这个阶段只需要 考虑放大系数 $S_d$，归一化因子 $A_0$ 不需要考虑，或者可以认为其为1.0。同样，对于数据重采样以及时间校正 也不会引入新的响应函数。

说明：FIR滤波器的响应函数可以近似认为其振幅恒为1，实际情况下，在Nyquist采样率附近会有5%左右的震荡。 因而当感兴趣的频率比Nyquist频率小很多时可以不必考虑FIR滤波器的响应函数。

小结

综上所述，三个阶段中，第一个阶段最为复杂，需要给出放大系数 $S_{d1}$ 、归一化因子 $A_0$ 以及 多个零极点；第二个阶段以及第三个阶段都只需要给出放大系数 $S_{d2}$ 和 $S_{d3}$。时间校正由数据 采集系统自动完成（mark一下，这话说得没底气）。

最终得到仪器的响应函数为

即需要仪器在第一个阶段的零极点信息、归一化因子 $A_o$ 以及全部三个阶段的放大系数 $S_{d0}$ 即可以 完全表示地震仪的仪器响应。

备注

  1. 这里描述的是一些基本物理细节，应该足够理解仪器响应。想要了解更多的细节，可以看参考中给出的SEED Reference Manual的指定页。

参考

  1. SEED Reference Manual, Version 2.4, August 2012, P71-P78, P151-169
  2. EarthScope 2009 workshop session2

修订历史

  • 2013-06-26：初稿。