地震学里最基本的运动方程是

$$\rho \ddot{u_i} = \sigma_{ij,j} + f_i$$

其中 $f_i$ 是体力项,最常见的体力是重力。

除非是研究地球的自由震荡,在一般的地震波传播问题中,重力都是可忽略的,因而运动方程简化为:

$$\rho \ddot{u_i} = \sigma_{ij,j}$$

断层的破裂过程(即震源的激发过程)可以认为其在源区导致局部的本构关系发生变化。其中 $\sigma_{ij}$ 是 真实的应力场,而 $s_{ij}$ 是根据原本构关系计算得到的应力场。

定义

$$f_i \equiv (\sigma_{ij}-s_{ij})_{,j}$$

此时运动方程重新变成

$$\rho \ddot{u_i} = \sigma_{ij,j} + f_i$$

$s_{ij}$ 是根据原本构关系计算得到的应力场,因而其在整个空间内是连续的。注意这里的 $f_i$ 已经不再是体力了, 而是从被修改的本构关系中分解出的体力项,因而 $f_i$ 仅仅存在于震源区的一个点或者断层面上。

根据 Aki & Richards (1980) 中的表示定理:

$$u_n(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \iiint_V f_p(\eta, \tau) G_{np}(x, t-\tau, \eta,0) d V(\eta)\\$$
$$+ \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \iint_{\Sigma} \left[u_i(\xi, \tau) \right] c_{ijpq} \nu_j G_{np,q}(x, t-\tau; \xi,0) d \Sigma(\xi)$$
$$- \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \iint_{\Sigma} \left[T_p(u(\xi, \tau), \nu) G_{np}(x, t-\tau; \xi,0) \right] d \Sigma(\xi)$$

位移分为三项,第一项为体力引起的位移,这一项在波传播中可忽略;

第二项是位移不连续引起的位移,其等效体力为

$$f_p^{[u]}(\eta, \tau) = - \iint_{\Sigma}[u_i(\xi, \tau)]c_{ijpq} \nu_j \frac{\partial}{\partial \eta_q} \delta(\eta-\xi) d \Sigma$$

第三项是应力不连续引起的位移,其等效体力为

$$f^{[T]}(\eta, \tau) = - \iint_{\Sigma}[T(u(\xi,\tau),\nu)] \delta(\eta-\xi) d \Sigma(\xi)$$

地震学研究中常用的源是位错源,即第二项。

因而很多文献中的波动方程,$f_i$ 都不是体力项,而是等效体力项。

参考文献:

  1. Julian, B. R., Miller, A. D., & Foulger, G. R. (1998). Non‐double‐couple earthquakes 1. Theory. Reviews of Geophysics, 36(4), 525-549.